Terminato nel 1893 il ginnasio con medaglia d'oro, si iscrive alla Facoltà di medicina dell'università di Mosca, che lascia al quarto anno per iscriversi alla Facoltà di legge. Nel 1899 viene arrestato per aver organizzato uno sciopero studentesco ed è espulso dall'università. Quindi lascia Mosca per Heidelberg, dove si laurea in Medicina, mentre nel 1903 ottiene lo stesso diploma a Char'kov.
Dal 1906 al 1914 risiede in Italia, a Nervi, dove fonda un sanatorio per la cura delle malattie cardiache e polmonari e diviene uno dei principali punti di riferimento della cospicua colonia russa affluita nella Riviera ligure in quegli anni. Dai documenti della prefettura di Genova risulta che nel 1906 abbia già a Bogliasco una sua clinica, Villa Maria (poi Villa Salmanoff), e che gestisca un ambulatorio a Nervi in via Crovetto, oltre a essere proprietario della libreria russa di via del Pozzo. Esercita la professione condividendo gli ambulatori con altri medici russi, tra cui V. E. Mendel'berg, E. Ja. Stolkind, M. Moisevič. Dalla polizia italiana Zalmanov è considerato "l'anima dei terroristi russi residenti a Nervi" (Prefettura di Genova, 11 ottobre 1909), promotore di iniziative assistenziali e culturali a beneficio dei profughi, spesso malati e molto poveri, come la Società di soccorso per bisognosi e ammalati dalla Russia, fondata nel marzo del 1909. Preoccupa le autorità italiane non tanto l'azione di assistenza del medico, quanto quella di presunta propaganda rivoluzionaria:
... si assicura che il Salmanoff possegga una piccola macchina tipografica con la quale nella propria casa stamperebbe giornali, manifesti ed altro che distribuirebbe fra i compagni in Nervi e spedirebbe anche in Russia per la via di Vienna (ACS, DGPS, 1909, b. 1, f. Nervi).
Zalmanov è in ottimi rapporti con Angelica Balabanoff, sempre sua ospite quando è di passaggio a Nervi, e offre le sue cure a diversi esponenti del movimento rivoluzionario, come Georgij Plechanov, German Lopatin, Clara Zetkin, Rosa Luxemburg. Vive con la moglie Ol'ga Emmanuilovna Sivers (che muore a Bogliasco nel 1912), ma contemporaneamente ha una relazione con Zlata Aleksandrovna Lopatina, ospite a Villa Salmanoff perché malata di tubercolosi, nipote del rivoluzionario German Lopatin che nello stesso periodo si trova a Fezzano presso Aleksandr Amfiteatrov. Dall'unione tra Zalmanov e Zlata Lopatina nel 1912 nasce Lidija detta Litly (Litly Abramovna Lopatina).
Durante gli anni trascorsi in Italia, Zalmanov è nominato membro straordinario della Reale Accademia di medicina di Genova (1907), ottiene la laurea in medicina a Pavia (1911) e si iscrive all'ordine dei medici che esercitano a Genova (1912).
Allo scoppio della Prima guerra mondiale si arruola volontario nell'esercito russo come ufficiale medico e si reca immediatamente al fronte a capo di cinque treni sanitari. Raggiunto il grado di generale medico, dirige due ospedali militari di Mosca e nel 1918 vi fonda l'Istituto balneologico. Lo stesso anno è chiamato al Cremlino per prendere in cura Nadežda Krupskaja, divenendo presto medico personale anche di Lenin e di sua sorella Marija Uljanova. In questo periodo stringe un rapporto di amicizia e stima con Lenin, che lo nomina responsabile per la lotta alla tubercolosi e per l'organizzazione delle stazioni termali russe. Nel 1921 Lenin permette a Zalmanov di recarsi in Germania su un mezzo diplomatico, e da allora il medico non tornerà più in Unione sovietica.
A Berlino entra in contatto con August Krogh (Premio nobel per la medicina nel 1920), le cui teorie aprono una nuova fase per la sua carriera di medico. Mentre pratica negli ospedali tedeschi, continua a studiare, dedicandosi principalmente al perfezionamento del suo metodo di "capillaroterapia" per cui è noto ancora oggi.
Nei primi anni Venti Zalmanov torna diverse volte in Italia, a Genova, dove risiedono ancora Zlata Lopatina e la figlia Litly. La polizia italiana sorveglia quella che considera un'intensa attività politica a favore dei Soviet, di cui il medico sarebbe un funzionario stipendiato "per la propaganda bolscevica e per il contrasto del movimento antibolscevico nella regione ligure", arrivando a ritenere che possa addirittura sostituire
Vaclav Vorovskij come rappresentante sovietico a Roma.
Dal gennaio 1924 è in Italia in pianta stabile e riapre la casa di cura di Bogliasco, chiusa dal 1915, che gestisce insieme alla seconda moglie Nadežda Sergeevna Šestakova. Diverse celebrità sovietiche vanno a curarsi dal "medico di Lenin", creando un notevole movimento di comunisti nella zona e rendendo Zalmanov sempre più sospetto e sgradito alla polizia italiana, che nell'aprile 1925 lo espelle dal Regno.
Zalmanov torna in Germania lasciando nella villa di Bogliasco la madre, Julija Ralmunovič, la moglie Nadežda e i due figli Andrej e Danila, la sorella Emilija Zalmanova, la figlia Litly e l'ex amante Zlata, incaricata di gestire i suoi beni in Italia. La moglie scrive a Mussolini chiedendo di rivedere il caso del marito, ma falliscono tutti i tentativi del medico di riaprire la sua "pensione" e di essere riammesso in territorio italiano, dove è segnalato come persona da respingere fino al 1943.
Negli anni Trenta si trasferisce con la famiglia in Francia e apre a Parigi una clinica dedicata alla terapia dei capillari, dove avvengono alcune "guarigioni miracolose" che richiamano illustri pazienti da tutto il mondo. Durante la Seconda guerra mondiale, nonostante sia ebreo e sovietico, Zalmanov scampa all'arresto da parte delle SS grazie alla sua notorietà e ai meriti professionali riconosciuti in tutta Europa. Nel 1958 esce a Parigi il suo libro
Secret et sagesse du corps e due anni dopo
Le miracle de la vie (Editions de la Table ronde), entrambi tradotti in italiano dal suo allievo Mario Mancini. Continua a vivere in Francia, senza rinunciare alla cittadinanza sovietica, fino alla morte sopraggiunta all'età di 89 anni, mentre scrive il suo terzo libro:
Les banalités qui ne sont pas banalités. È sepolto a L'Etang-La-Ville.
Pubblicazioni
A. Salmanoff,
Secrets et sagesse du corps, Paris: La Table ronde, 1958 (trad. ital.
Segreti e saggezza del corpo: medicina delle profondità, a cura di M. Mancini, Milano, Bompiani, 1963).
Le Miracle de la vie, Paris: La Table ronde, 1960 (trad. ital.
La chiave della salute, a cura di M. Mancini, Milano, Bompiani, 1965).
