Figlio di un contrabbassista e maestro di musica di Odessa, il suo vero cognome è Kuperštok, ma in ambito internazionale è noto come Cooper. Riceve le prime nozioni di musica dal padre – come i suoi sette fratelli, tutti musicisti – studia violino e composizione a Odessa e si perfeziona al conservatorio di Vienna nel 1893. Fino al 1898 fa il violinista, esibendosi nei teatri dell'Europa occidentale e a Costantinopoli, mentre studia direzione d'orchestra da autodidatta.
Nel 1898 è chiamato all'opera italiana dell'Aleksandrovskij Teatr di Helsinki, mentre l'anno successivo, in qualità di direttore d'opera, intraprende una
tournée con Leonid Sobinov e
Fedor Šaljapin, esibendosi in diversi teatri russi: Odessa, Char'kov, Pietroburgo, Rostov sul Don, Nižnyj Novgorod. Dirige il Teatro dell'Opera di Kiev dal 1900 al 1907 crescendo in repertorio e capacità, e collaborando al mantenimento della numerosa famiglia insieme al padre, che suona il contrabbasso per lo stesso teatro. In seguito è a Mosca, al Teatro dell'Opera di Zimin, dove nel 1909 dirige la prima assoluta di
Zolotoj petušok (
Il galletto d'oro) di N. A. Rimskij-Korsakov e
I maestri cantori di Norimberga di R. Wagner (in russo).
Negli anni 1909-14 partecipa alle
tournées parigine e londinesi dei Balletti Russi di
Sergej Djagilev. Il successo del
Boris Godunov di M. P. Musorgskij con Šaljapin a Parigi nel 1909 inducono il direttore dei teatri imperiali russi Vladimir Teljakovskij a offrirgli il posto di direttore d'orchestra al Bol'šoj Teatr. Qui vive un decennio di grandi successi (1910-19), tra cui molte prime assolute, mentre continua a esibirsi nei maggiori teatri europei: negli anni 1912-14 è ancora con Djagilev a Parigi e Londra.
Nel 1917 si impegna attivamente nell'organizzazione e nel miglioramento delle condizioni di vita di artisti e musicisti. Dal 1918 insegna al conservatorio di Mosca e riceve una serie di incarichi prestigiosi: è professore di direzione d'orchestra al conservatorio di Pietrogrado, viene ingaggiato al Petrogradskij аkademičeskij тeatr оpery i бaleta (ex Mariinskij) e dal 1920 è responsabile musicale di tutti i teatri di Pietrogrado. Nel 1921 fonda la prima grande istituzione musicale dell'Unione sovietica, la Filarmonica di Pietrogrado, che incorpora l'Orchestra Sinfonica di Stato, di cui è direttore artistico.
Nel 1924 lascia l'Unione Sovietica per stabilirsi a Parigi, dove lavora all'Opéra. Va spesso in tournée: al Teatro Real di Madrid, al São Carlos di Lisbona, per due anni a Riga all'Opera Nazionale Lettone (1926-28), dove dirige importanti concerti e ospita compagnie straniere.
Nel 1926 compie un viaggio in Italia, invitato dalla Regia Accademia di Santa Cecilia e si esibisce in due concerti all'Augusteo di Roma, portando per la prima volta in Italia Hyrcus Nocturnus (Il capro notturno) di S. N. Vasilenko e La leggenda della città invisibile di Kitež di Rimskij-Korsakov:
Si è presentato come interprete di musiche prevalentemente romantiche e tumultuose, mostrando una speciale predilezione per le gaie tregende orchestrali, le sonorità fastose, gli urli di battaglia e i sogghigni delle streghe. È da notarsi, però, che il Cooper, nel dirigere codeste musiche, ha dato prova di possedere un temperamento sano, forte e una correttezza che non potrebbe mai essere abbastanza lodata. [...] Le interpretazioni di Cooper hanno una bella vivacità coloristica ma, al tempo stesso, un perfetto equilibrio. E ciò forma il loro pregio più evidente («La Tribuna», 11 gennaio 1926).
La leggenda della città invisibile di Kitež (libretto di Vladimir Bel'skij, tradotto in italiano da Rinaldo Küfferle) è eseguita con la sua direzione al Teatro alla Scala di Milano nel 1933. Nel novembre del 1932 è di nuovo a Roma: acclamatissimo dal pubblico del Teatro Argentina dirige Il principe Igor' di Aleksandr Borodin, il Boris Godunov e La fidanzata dello zar di Nikolaj Rimskij-Korsakov.
È di nuovo in Italia nel marzo 1935 al Teatro Verdi di Trieste, dove dirige la
Nona sinfonia di Beethoven, poi nel febbraio 1936 alla Scala con l'opera
Siberia di Umberto Giordano.
Fino al 1939 dirige nei maggiori teatri europei; dopo l'occupazione nazista della Francia si stabilisce negli Stati Uniti, dove ha già vissuto negli anni 1929-1932 lavorando per la Civic Opera di Chicago e compiendo diverse
tournées. Il periodo dal 1944 al 1950, durante il quale è ospite del Metropolitan Opera di New York, può essere considerato il vertice della carriera di Kuper, primo russo a salire sul pulpito del prestigioso teatro americano. Nel decennio successivo è direttore musicale del Montreal Opera Guild e nel 1958, all'età di 82 anni, dirige il suo ultimo concerto sinfonico.
